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A lição de Lúcio de Miranda


O Correio dos Açores, na sua edição de 8 de outubro de 1932, publicou ao centro da sua primeira página a lição de abertura desse ano escolar no então Liceu Central de Antero de Quental (atual ESAQ), proferida pelo Dr. Lúcio de Miranda[1]. Remetendo para as margens notícias sobre “O último terramoto na ilha de S. Miguel”, ou “O problema do livre comércio de carnes”. Na abertura de mais um ano escolar, 85 anos depois, não acredito que nos jornais de hoje haja alguma notícia ou intervenção mais atual do que esta revisitação daquela oração de sapiência.
“O encanto das matemáticas”
Sob este título, o orador posicionou-se logo na introdução: “Desde a mais remota antiguidade, todos os povos que conheceram a civilização cultivaram as matemáticas. (…) ‘que servem tanto para facilitar as indústrias como para contentar os curiosos’ (…). O meu tema não é a utilidade das matemáticas – é a beleza.”
Uma opção não apenas pessoal, mas porque “elas dominam pelo encanto todos aqueles que sabem perscrutar os seus segredos”. O que é equivalente a afirmar que ninguém chega a compreender as matemáticas sem se emocionar esteticamente com elas. Pelo que a própria máxima utilidade da matemática para as indústrias, etc., só será alcançada na base da experiência da beleza daquela ciência.
E não apenas nos seus desenvolvimentos particulares e mais abstratos. “Nas planuras das matemáticas elementares, nestas matemáticas que se estudam nos liceus, também há imensas oportunidades de conhecer os seus encantos. Tudo depende da maneira de ensinar e aprender. Pode-se ensinar materialmente, maquinalmente, (…) ou então, pode-se penetrar o sentido e a ligação dos símbolos, das ideias e das coisas, descendo às fontes do conhecimento.”
Assim, o antigo professor do Liceu verificou que “na simples verificação duma propriedade ou na demonstração dum teorema, a gente miúda experimenta uma enorme satisfação. (…) Ainda há pouco tempo reparei numa criança de catorze anos, que se tinha concentrado horas seguidas com o intuito de demonstrar uma simples propriedade dos ângulos…”
Caríssimo Dr. Lúcio, não sei se o senhor gostaria de saber quantas horas os seus sucessores, não só com alunos dessa idade mas até ao atual 12º ano, podem hoje, segundo as diretrizes políticas, dedicar a demonstrações de propriedades e teoremas… Ou em que é que os jovens assim ensinados se concentram horas seguidas.
Mas a atualidade da sua lição fica aqui para um último passo. Antes registarei uma nota sobre as propriedades que constituirão essa beleza, outra sobre como pode ser experimentada, e arrojar-me-ei (ai, sapateiro não vás além da chinela…) a tentar exemplificá-la. Embora para logo depois confessar alguns embaraços.
Tentativa de exemplo
Ao longo da sua oração, Lúcio de Miranda classificou como “belas” as estruturas matemáticas dadas a ordem, simplicidade, coerência e proporção delas. O que não significa que estas propriedades esgotem o sentido de “beleza”, mas apenas que aquilo que as satisfaça pertence ao conjunto geral das coisas belas.
A experiência dessa beleza particular não será porém experimentada espontânea ou imediatamente – como na visão da descida de uns farrapos de nevoeiro sobre a lagoa Verde nas Sete Cidades, de um Jaguar XK140 a passar numa estrada… Diferentemente, desde o aluno de catorze anos à “comoção profunda de Isaac Newton, que sentiu esvaírem-se-lhe as forças, quando verificou serem matematicamente exatos os cálculos que o levaram à descoberta genial da lei da gravitação”, essa experiência ocorrerá perante o brotar daquela ordem, simplicidade… na dissolução de um emaranhamento – isto é, no resultado da resolução de uma equação, da demonstração de um teorema, etc.
Tentemos um exemplo da beleza de uma demonstração que provavelmente terá passado pelas aulas de Lúcio de Miranda sobre geometria euclidiana:
Teorema: Se uma linha interseta um plano, mas não está contida neste plano, então a linha interseta o plano num só ponto.
Demonstração: Havendo uma linha que interseta um plano sem estar contida nele, logo pela definição de “interseção” sabemos que ambos têm em comum pelo menos um ponto (chamemos-lhe P). Mas não partilharão mais do que um. Pois, se partilhassem qualquer outro ponto (Q), então a linha PQ estaria contida no plano, o que é desmentido pela segunda premissa.
Tão simples, ordenada e (aparentemente!) perfeita essa demonstração! A brotar porém de umas quantas escolhas e recursos, ao longo de um processo em duas etapas. Cada uma das quais exemplifica aliás os que suponho serem os dois métodos demonstrativos – direto e indireto (redução ao absurdo) – mais comuns em matemática.
Na primeira etapa, dada a interseção entre um plano e uma linha, basta recorrer à definição de “interseção” de duas figuras como o conjunto de pontos que estas tenham em comum. E decorre diretamente que partilharão pelo menos um ponto.
Mas quantos? Creio que o primeiro passo da resposta a esta segunda questão terá de ser uma intuição de qual será a resposta certa (um só ponto comum)[2]. Mas para nos desviarmos pela hipótese da sua negação (haver qualquer ponto Q além do P), em vista a descartar esta hipótese por ela levar a uma contradição. Assim, voltando a uma perspetiva prévia, temos de reconhecer qual das premissas entrará em contradição com qual dos vários axiomas[3] ao dispor dos geómetras. Recorrendo então a) ao axioma de que se dois pontos estão num plano, a linha que passa por eles também está aí contida; obtemos b) a contradição – com a segunda premissa – que nos permite c) descartar a negação que pusemos como hipótese. E voltar à afirmação que fora assumida no primeiro passo, mas agora firmada sem alternativa.
A demonstração brota como os marcos dessas opções e etapas, bela e perfeita… enquanto no entanto não ultrapassamos as “planuras das matemáticas elementares” (ou talvez mesmo das menos elementares, mas destas sei tanto quanto de chinês ou do cultivo da mandioca).
2 Dificuldades
Aqueles que porém delas se elevam reconhecerão que aquela segunda etapa supõe que, se uma afirmação não é falsa (negação da negação dela), então só pode ser verdadeira. O mesmo é dizer: só há dois valores de verdade – verdadeiro, falso – e não diversos graus de verdade – falso, quase falso, meio falso… Então, enquanto não justificarem o descartamento desta lógica plurivalente a favor daquela outra bivalente, não podem afirmar ser verdade (pode antes ser quase falso…) que o plano e a linha referidos se intersetam num só ponto, pela mera razão de ser falso que o façam em mais do que um.
Neste abismo entre as lógicas a usar em quaisquer demonstrações talvez se quebre a beleza das matemáticas clássicas. Mas surge em troca a excitação, e a angústia, da aventura do pensamento!
O qual também deverá esclarecer se os procedimentos de tais desemaranhamentos serão os que se equiparem aos do caminhante que descobre a pequena baía em frente à qual o nevoeiro desce, se os que se equiparem aos dos construtores da Jaguar.
Os matemáticos platónicos, que se propõem descobrir estruturas matemáticas que existirão para além deles, procedem como aqueles caminhantes. E, também platonicamente, tomam a beleza dessas estruturas como própria destas – assim como será própria da lagoa Verde, daqueles automóveis, etc.
Já os kantianos tomam a beleza como uma atribuição da mente a esses bocados de chapa sobre quatro rodas, de alguma água gasosa sobre muita água líquida, ou da sequência de proposições matemáticas. Estruturas estas que, segundo Kant, serão desemaranhadas, e enfim julgadas belas, mediante faculdades construtivas e não de descoberta.
Como porém não recebi o presente que há quase um ano aqui pedi em “Pelo natal, quero resposta ao maior enigma da ciência moderna”, deixo essas questões mais rigorosas em aberto, e passo a uma menção sobre a atualidade daquelas palavras de há 85 anos.
Da atualidade da lição de Lúcio de Miranda
Apenas para sugerir que, de um lado, consideremos as previsíveis alterações económico-laborais, e sociais em geral, com o advento das chamadas “máquinas de segunda era” (encontram-se online diversos textos sobre isso, inclusive alguns publicados neste jornal).
E do outro lado estimemos quais dos alunos, que neste mês começam outro ano letivo, mais facilmente terão um lugar satisfatório na nova sociedade que se avizinha: se os que, em matemática como nas restantes disciplinas, agora adquirirem e aplicarem conhecimentos “maquinalmente”. Se os que seguirem a lição do Dr. Lúcio de Miranda, e enfim se aventurarem pelo pensamento.




[1] Sobre uma das figuras mais notáveis do séc. XX micaelense, v. o post “Dr. Lúcio de Miranda”, do colaborador deste jornal, Teófilo Braga, no blog Pois alevá… Diário de um Professor (30/12/2015).
[2] Escrevo isto, e salta-me à memória a Dra. Maria Antónia Ramos Gil: a propósito da escolha das regras de resolução de equações para desemaranhar cada uma destas, ao lhe comentar que “Então temos que saber onde se deve chegar antes de lá termos chegado…”, ela respondeu-me apenas “Claro!”. Foi um momento à Lúcio de Miranda.
[3] Verdades que, por um mistério filosófico, os matemáticos têm como evidentes.

versão original in: Correio dos Açores, 08/09/2017

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